Teorema fundamental del Álgebra

Aunque el Teorema Fundamental del Älgebra, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.

Así es como se enuncia comúnmente:

Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).

Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces​ como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(x) de grado n ≥ 1, la ecuación p(x) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.

Otras formas equivalentes del teorema son:

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir:

Esto significa que todo polinomio P(x)  de grado n puede ser expresado como el producto de sus factores primos, teniendo tantos factores primos como indique n. De este modo, la ecuación que se obtiene igualando dicho polinomio a cero, tendrá tantas raíces como su número de factores primos.

   

Ejemplos 1

    Si P(x) = X² + 7x + 12         

                                                    

                                                            Entonces  

                                                                                                    

                                                                                               P(x) = (x +4).(x + 3) Ver video

Ejemplo 2

        Si P(x) =  X³ – 7x – 6


     
                                                           
                                                         Entonces     



                                                                                       
                                                                                     P(x) =  (x + 2).(x – 3).(x + 1)  Ver video





Ejemplo 3



Si P(x) = x³ + 4x² – 4x – 16






                                                                 Entonces



                                                                                                    

                                                                                                    P(x) = (x – 2).(X + 2).(X + 4)  Ver video.

Tarea

Determine los factores  y las raíces de cada polinomio de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra.

1. x³ + 5x² + 2x – 8 = 0
2. x⁴ – 5x² + 4 = 0
3. x² – 2x - 35 = 0
4. x³ – 3x² – 25x - 21 = 0
5.  3x² + 5x -7 = 0
6. x³ – (5/2)x² – 14x + (15/2) = 0
7. x²  + 4x -1 = 0   
8. x³  –  5x² + 4x = 0       
9. x² + 6x – 54 = 0       
10. 8x³ + 6x² – 3x  = 0 
11. x⁶ – 15x⁵ + 85x⁴ – 225x³ + 274x² – 120x = 0
12. x² – 5x = 0 
13. x² + 9x = 0 
14. x² – 4 = 0 
15. x² + 4 = 0