En este tratado vamos a estudiar los tipos de matrices, no sin antes considerar el concepto de Matriz a partir de su origen y evolución.
Historia de las Matrices
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver
ecuaciones lineales. El primer ejemplo conocido de uso del método de matrices
para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas Es un importante texto
matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., éste posee nueve
capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu). En el séptimo
capítulo, el concepto de determinante
apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el
matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz
en 1693.
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por
Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a
finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de
Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de
Gauss-Jordan en el siglo XIX.
Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el
término «matriz» en 1848/1850.
En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de
matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada
de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga
Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que
trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg
redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba
a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de
los padres de la mecánica cuántica.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial,
usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad
llamado fluttering.
En 1772, Laplace en un estudio sobre la orbita de los
planetas interiores, considera
pocos prácticos los métodos de Cramer y Bezout. Laplace
discutía, sin calcularlas,
las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales usando
determinantes. Curiosamente, usó el término "resultante", el mismo
que había usado Leibniz, para
referirse al determinante, aunque sin saberlo.
Lagrange, en 1773, también estudió identidades de
determinante funcionales de
3x3, aunque no vio ninguna conexión con los trabajos de
Laplace o Vandermonde.
Tanto Newton como Euler también usaron determinantes para
encontrar raíces
comunes a dos polinomios de grado m y n aunque el método,
generalmente aceptado, fuera el elaborado por Bezout.
El término determinante, aunque en distinto sentido al que
nosotros le damos, fue
introducido por Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae
mientras discutía formas
cuadráticas. Gauss también es el autor del método de
eliminación que lleva su
nombre, apareció en un trabajo en el que estudiaba la orbita
del planetoide Pallas,
donde aparece un sistema de seis ecuaciones y seis
incógnitas.
Cauchy fue el primero en utilizar, en 1812, el determinante
en sentido moderno. En
1826, en el estudio de formas cuadráticas de n variables usa
el término "cuadro"
para la matriz de los coeficientes, encuentra los valores
propios (concepto introducido 80 años antes por D’Alambert en un trabajo sobre
sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales), diagonaliza matrices, introduce
matrices similares, pero tanto
él como Sturm, que generaliza el problema del valor propio,
solo dan sus ideas en
el contexto propio en el que trabajan, sin generalizarlas ni
extrapolarlas.
En el siguiente vídeo se caracteriza cada uno de los tipos de matrices para que el alumno pueda tener un concepto claro de cada uno de ellos.
Tarea
Con el vídeo anterior define y da ejemplos de cada uno de los siguientes conceptos.
- Matriz
- Matriz Rectangular
- Matriz Cuadrada
- Matriz Diagonal
- Matriz Escalar
- Matriz Unidad o identidad
- Matriz columna
- Matriz Fila
- Matriz Triangular Superior
- Matriz Triangular Inferior
- Matriz Simétrica
- Matriz Anti-simétrica
