PRICIPIOS MATEMÁTICOS DE LAS SUCESIONES -PRÁCTICA II

Sucesiones

Una sucesión es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números de diferente naturaleza, también pueden ser figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Por ejemplo, la sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 0, 2, 4, 6, 8...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N (conjunto de los números naturales excluido el cero) en el conjunto R de los números reales.

  Se llama término de una sucesión a cada uno de los elementos que constituyen la sucesión. Para representar los diferentes términos de una sucesión se usa una misma letra con distintos subíndices, los cuales indican el lugar que ocupa ese término en la sucesión.

Por ejemplo:

En la sucesión: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,… tenemos que: a5 = 5, ya que es el término de la sucesión que ocupa el quinto lugar.

En la sucesión: b) 2, 4, 6, 8 , 10,… el tercer término se denotaría b3 y correspondería al valor 6.

   Lo realmente importante a la hora de nombrar los términos de una sucesión es el subíndice porque denota el lugar que ocupa en la sucesión. Las letras con las que se designa la sucesión son distintas para sucesiones distintas y suelen ser letras minúsculas.

   Se llama término general de una sucesión al término que ocupa el lugar n-ésimo y se escribe con la letra que denote a la sucesión (por ejemplo a) con subíndice n:(an).

Si nos centramos en los valores que toman los subíndices, vemos que son números naturales, pero los términos de la sucesión no tienen por qué serlo, es decir, los valores que toma la sucesión son números reales. Por eso, podemos afirmar que una sucesión de número reales es una aplicación que hace corresponder a cada número natural un número real.

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Ejercicios

Halle el término enésimo de cada sucesión.

• 1, 5, 9, 10, 14,...
• 5, 1, -3, -7, -11,...
• -1, 0, 1, 2, 3,...
• 1/2, 1/5, 1/10, 1/17, 1/26,...
• 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8,...
• -1, 4, -9, 16, -25,...
• -1, 1/4, -1/9, 1/16, -1/25,...
• -3, 1, 5, 9, 13,...
• 0, 3/8, 8/27, 15/64, 24/125,...
• -1, 5/9, -10/28, 17/65, -26/126

Halle los 5 primeros términos de la sucesión indicada en cada caso

• n + 3
• n - 5
• 7n + 6
• 6n - 7
• (n - 1)/(n + 1)
• n/n²
• ^(-4)n 
• (n³ - 6)/n³
• (-3)ⁿ. (4n – 5)
• (-1)ⁿ. (n² +1)/(n³ + 1)

Determine el límite de las siguientes sucesiones

• Lim(n + 7)
• Lim(n - 9)
• Lim(3n + 2)
• Lim(8n - 11)
• Lim(n - 1)/(n + 1)
• Lim(n/n²)
• ^Lim(-3)n 
• Lim(n - 4)/n²
• Lim(-3)ⁿ. (7n – 5)
• (-1)ⁿ. (n² - 3)/(n³ + 3)

Halle el término pedido de la progresión indicada en cada caso

• 4, 8, 12,... (décimo quinto término)
• 3, 9, 15,... (vigésimo tercer término)
• 8, 5, 2,... (noveno término)
• 1, 8, 15,... (trigésimo término)
• 2, 10, 50,... (séptimo término)
• -3, -12, -48,... (décimo término)
• 1/2, 3, 18,... (octavo término)
• 28, 14, 7,... (onceavo término)
• 1/5, 1/9, 1/13,... (duodécimo término)
• 1/3, 1/7, 1/11,... (décimo quinto término)

Determine la suma de los términos indicados en cada progresión

• 7 primeros términos en 3, 6, 9,...
• 12 primeros términos en 1/4, 1/2, 3/4,...
• 10 primeros términos en 3, -2, -7,...
• 14 primeros términos en 3, 8, 13,...
• 5 primeros términos en 2, 6, 18,...
• 6 primeros términos en 3, 15, 75,...
• 7 primeros términos en 4, 12, 36,...
• 8 primeros términos en 4, 2, 1,...

Interpole medios aritméticos y armónicos

• 5 medios aritméticos entre 6 y 30
• 3 medios armónicos entre 1/5 y 1/45
• 8 medios aritméticos entre 7 y 70
• 5 medios armónicos entre 1/3 y 1/21
• 4 medios aritméticos entre 5 y 75
• 10 medios armónicos entre -1/6 y 1/93

• 7 medios aritméticos entre -7 y 56

Resuelve los problemas siguientes

• María compró 60 libros, por el primero pagó 25.00. Si por cada uno de los otros pagó 2 pesos más que por el anterior, ¿cuál fue el total de la compra?
• Un atleta avanza 5 metros en el primer segundo de su carrera y en cada segundo posterior avanza 50 centímetros más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el décimo segundo y que distancia habrá recorrido desde el primer segundo?
• Determine la suma de los números impares desde el 27 hasta el 905.
• El séptimo término de una progresión aritmética es 37 y el décimo 73. Halle el catorceavo término.
• Si recorres 100 kilómetros el primer día y cada día posterior recorres 7 kilómetros menos que el anterior, ¿cuánto habrás recorrido al final de 10 días?
• En una progresión geométrica de 5 términos el cubo del tercer término es 729; si el último término es 81, halle el primer término.
• La venta de camisas en una tienda x durante 10 días fue 1/4 la venta del día anterior; si el décimo día se vendieron 7 camisas, ¿cuántas se vendieron el primer día?
• El dueño de una panadería x ganó durante 5 años 1/3 del año anterior; si el primer año ganó 4,455 dólares, ¿cuánto ganó el primer año?