Números Imaginarios
Los números imaginarios forman parte del conjunto de los
números complejos y son el producto de un número real por la unidad imaginaria
i.
En otras palabras, los números imaginarios son números
complejos y pueden escribirse como la multiplicación de la unidad imaginaria i
por un número real cualquiera.
Se utiliza la i para denotar la unidad imaginaria dado que
proviene del inglés, imaginary numbers.
Fórmula del número imaginario
Dado un número imaginario r, este puede expresarse como:
r = n·i
donde:
r es un número imaginario.
n es un número real.
i es la unidad imaginaria.
Ejemplo
Plano Gaussiano
Un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes real
e imaginaria son números enteros. Forman el subconjunto propio de los números
racionales gaussianos.
El conjunto de los enteros de Gauss, dotado de la suma y producto
ordinarios de números complejos, forma un anillo conmutativo con unidad
multiplicativa y luego un dominio de integridad conmutativo y unitario,
usualmente se denota como Z[i], donde i designa la unidad imaginaria. Una
estructura de esta naturaleza posee numerosas propiedades, agrupadas con el
nombre de dominio de Dedekind. Además, lo que aún es más extraordinario, es un
dominio euclídeo y por lo tanto factorial.
Los enteros de Gauss son utilizados en teoría de números
algebraicos y en aritmética modular, por ejemplo, para el estudio de ecuaciones
diofánticas. El empleo de este sistema algebraico facilitó a Carl Friedrich
Gauss demostrar la ley de reciprocidad cuadrática.
Enteros gaussianos en el Plano complejo.
Formalmente, el conjunto de los enteros gaussianos se define
como un subconjunto propio de los números complejos, siendo la parte real y la
parte imaginaria números enteros, se denota:
Representación De Números Complejos En El Plano Gaussiano
Forma de calcular una potencia de la unidad imaginaria
Recordemos que la unidad imaginaria se define como el número
complejo i tal que i2 = -1. Por lo tanto, tenemos los siguientes
resultados:
I0 = 1 (por convención)
I1 = i
I2 = -1 (por definición)
I3 = (i2)(i) = (-1)(i) = -i
I4 = (i2)(i2) = (-1)(-1) =
1
Observemos que i5 = (i4)(i) = i. Por
lo tanto, los valores de las potencias de i se van ciclando, repitiendo de
cuatro en cuatro.
Recordemos que si dividimos un número n por 4, entonces
obtenemos un cociente q y un residuo r (donde 0 < r < 4), de manera que n se puede escribir
como
n = 4(q) + r
De esta manera, para calcular in hacemos:
in = i4(q) + r = (i4)q
. ir = 1q . ir = 1 . ir = ir
Es decir, in = ir donde r es el
residuo de dividir n entre 4.
