Leyenda de la Corona del Rey Hierón II
Cuenta la historia que el Rey Hierón II de Siracusa (306-215
a. C.) había encargado a un orfebre diseñar y confeccionar una corona de oro y
que para fabricarla le entregó un lingote de oro puro al artista. Cuando el
orfebre terminó la corona el rey quedó
satisfecho con el resultado. Comprobó
que la corona pesaba exactamente lo
mismo que el lingote, pero le llegaron dudas sobre la honradez del artesano y
sospechó que le había engañado sustituyendo, a la hora de fundir el
lingote, parte del oro por algún material
más barato, como la plata.
Al rey Hierón le
gustaba la corona y no quería destruirla para averiguar su composición, pero
expuso sus sospechas a Arquímedes (287 – 212 a. C.), que era el mejor de los matemáticos griegos de su época y uno de los más grandes científicos de todos
los tiempos, y le propuso que determinara si el artista lo había engañado sin
romper la corona, ni cortarla, ni fundirla, porque el orfebre podía ser un
pillo, pero la corona era bellísima.
Este relato se considera como una leyenda porque se cuenta
por primera vez en la obra De architectura de Vitruvio (80 a.C-15d.C), que fue
arquitecto de Julio César, y la obra fue
escrita aproximadamente dos siglos
después de la muerte de Arquímedes.
Arquímedes Resuelve el Problema de La Corona Del Rey Hierón
Cuenta Vitruvio que Arquímedes comenzó a pensar sobre el
problema inmediatamente y le dio vueltas y vueltas a la cuestión hasta el punto que no se separaba de
la corona en ningún momento del día. Hasta que un día, al meterse en la bañera
se le ocurrió como abordar el problema y resolverlo.
Se le ocurrió que el volumen del agua que desplazaba la
corona al sumergirla en el agua tenía que ser igual al volumen de la corona,
por lo tanto, si medía el agua que rebosaba al meter la corona en un recipiente
con agua, conocería el volumen de la misma y luego podría compararlo
con el volumen de un objeto de oro (un lingote) del mismo peso que la corona y
si midiendo ambos volúmenes resultaran ser diferentes, sería una prueba
concluyente de que la corona no era de oro puro.
Vitruvio dice que esta idea se le ocurrió a Arquímedes
mientras se estaba bañando y que, por la excitación que le produjo el
descubrimiento, salió del baño desnudo hacia el palacio de Hieron gritando
¡Eureka!, ¡Eureka!, que significa: «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!».
Principio de Arquímedes con la Corona del Rey Hierón II
Eso es la historia del descubrimiento del Principio de
Arquímedes en forma literaria, pero la realidad es que Arquímedes, en su obra
Sobre los cuerpos flotantes, en la que sentó las bases de la Hidrostática, en
la proposición siete del libro primero expone claramente el principio que lleva
su nombre de la siguiente forma:
Si un cuerpo es más pesado que un fluido y se abandona en
éste, se sumergirá hasta el fondo; y si el cuerpo se pesa en el fluido será más
ligero que su verdadero peso en un peso igual al peso del líquido desalojado
Numéricamente el problema es sencillo teniendo en cuenta la
densidad de los metales y que el peso de un cuerpo es igual al producto del
volumen por su peso específico. Supongamos que el lingote de oro pesara un
kilogramo.
Si el orfebre hubiera hecho la corona solamente con el lingote de oro, como el peso específico del oro es de 19,32
g/cc, el volumen de la corona sería:
1000 = V · 19,32 ⇒ V = 51,76 cc
Si el orfebre hubiera hecho trampas y hubiera empleado, por
ejemplo, 700 g de oro y sustituidos los 300 restantes por plata, cuyo peso
específico es de 10,5 g/cc:
El volumen de oro en la corona del orfebre: 700: 19,32
= 36,23 cc
El volumen de la plata
en la corona: 300:
10,5 = 28,57 cc
Por lo tanto, la
corona del orfebre tenía un volumen
total = 64,8 cc
Es decir, la corona del orfebre tramposo tenía mayor volumen
que el que debería tener si hubiera sido fabricada con oro puro. La
diferencia de volumen era de unos 13 cc,
que es aproximadamente el volumen de una cucharada sopera de un líquido, y,
aunque no es excesivamente grande, es apreciable.
La ciencia tiene la propiedad de poder englobar los hechos
observacionales en el seno de una teoría general que relaciona diferentes
hechos. El principio de Arquímedes, tal y como lo cuenta la historia, es un
hecho observacional, está relacionado con otros dentro de la Hidrostática y más
concretamente, gracias a la ecuación fundamental de la hidrostática y al principio de Pascal, con fenómenos como el
equilibrio de gases, la prensa hidráulica y fenómenos relacionados con la
presión. El principio de Arquímedes es una consecuencia inmediata de la ecuación fundamental de la hidrostática y
al principio de Pascal tal y como se
esboza a continuación:
Principio fundamental de la hidroestática
Fig 2: http://slideplayer.es/slide/163138/
Ecuación Fundamental Hidrostática de acuerdo con el experimento de la corona del Rey Hierón II
La ecuación fundamental de la hidrostática establece que la
presión en un punto del interior de un fluido (presión hidrostática) es
directamente proporcional a la densidad del fluido y a la la profundidad que se
encuentre dicho punto P = d·g·h, donde:
P es la presión en un punto del fluido,
d es la densidad del fluido, g es la aceleración de la gravedad en el
lugar donde se encuentre el fluido y h es la profundidad a que se encuentre el
punto respecto a la siperficie del líquido.
El principio de Pascal dice que en un fluido
incompresible, en reposo y dentro de un
recipiente de paredes indeformables, un cambio de presión aplicado en un
punto se transmite íntegramente en todas
las direcciones del fluido y actúa perpendicularmente a las paredes que lo
contienen.
Si introducimos un cilindro recto de base cubase mide A y de
altura H (su volumen será Vcil = A·H).
Sobre cara superior, que se encuentra a una profundidad h1
se ejerce una presión hacia abajo:
P1 = d·g·h1, es
decir, que la base superior soporta una fuerza F1 = d·g·h1·A
y sobre cara inferior del cilindro, que se encuentra a una
profundidad h2 , se ejerce una presión una presión hacia arriba
P2 = d·g·h2, es decir
que la base superior soporta una fuerza F2 = d·g·h2·A
El empuje será la diferencia de las dos fuerzas
E = F2 – F1= d·g·A·(h2 – h1) = d·g·A·H = d·g· Vcil
(se ha tenido en cuenta que
la altura del cilindro H = h2 – h1 )
Lo que es el
principio de Arquímedes aplicado al cilindro de base A y altura H, que dice que el empuje, E, es igual al peso
del volumen del líquido desalojado por el cilindro.
