Historia
del Algebra. Profesor Semerari
Los
antecedentes del Álgebra aparecen en el antiguo Egipto y Babilonia, donde
fueron capaces de resolver ecuaciones lineales1 (ax = b) y cuadráticas
(ax2 +
bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias
incógnitas.
La
introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas, las operaciones
y potencias algebraicas representó un avance importante para el Álgebra. Debido
a esta introducción, el Libro III de la Geometría, escrito por el matemático y
filósofo francés René Descartes tiene
gran similitud a un texto moderno de Álgebra. (Corral, 1993)
gran similitud a un texto moderno de Álgebra. (Corral, 1993)
Descartes
"aritmetizó" el plano, al introducir las coordenadas. En lugar de
determinar un punto geométricamente, basta con dar un par de números (x,
y) y viceversa. Antes de Descartes se consideraba que una ecuación
algebraica con dos incógnitas F(x, y) = 0 era un problema
indeterminado, y se estimaba que una ecuación tal, indeterminada, carecía de
interés. Descartes consideró la situación desde un ángulo diferente. Propuso que la x fuese considerada como
la abscisa de un punto, y la correspondiente y como la
ordenada. Se dan distintos valores de x, y para cada valor de x se
calcula la correspondiente y, obteniéndose en la ecuación un
conjunto de puntos que constituyen una curva (Guzmán, 1993).
Esta
observación de Descartes abrió las puertas a una ciencia enteramente nueva, la
geometría analítica, es decir transformó los problemas geométricos en problemas
aritméticos, lo que repercutió sobre el Álgebra. La aritmetización del espacio
que tiene lugar al pasar de la geometría sintética a la geometría en Rn, en opinión de Sierpinska (1996), constituyó
un momento importante en el desarrollo del Álgebra Lineal.
Descartes,
enlazó la geometría analítica, los métodos
del álgebra y la geometría, y consideró que había creado una ciencia
única. Sin embargo, la utilización del aparato algebraico en la geometría
analítica no condujo a la supresión del álgebra, estas se desarrollaron por sus propios caminos, teniendo
sus propias problemáticas.
En el
siglo XVIII la búsqueda de fórmulas generales para la solución de sistemas
de n
ecuaciones lineales con n incógnitas condujo a Leibniz y a Cramer al
concepto de determinante. Luego Jacobi introdujo el concepto de determinante
funcional y junto a Ostrogradroki, Wronski y otros, lo utilizaron en los
trabajos de Análisis Matemático.(ENCARTA 98)
Gauss,
el llamado “príncipe de las Matemáticas, aportó el método de eliminación a la
solución de los sistemas de ecuaciones lineales (Howard, 1985). En los tiempos
de Gauss, el Álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se
trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas
matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de
objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían
encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Los matemáticos franceses
Galois y Augustin Cauchy , el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie
hicieron importantes contribuciones a su estudio como refiere O’ Connor (1996
).
Las
cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William
Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para
las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma
a + bi, las cuaternas son de la forma
a + bi + cj + dk.
Después
del descubrimiento de Hamilton refiere O’Connor (1996) que el matemático alemán
Hermann Grassmann empezó a investigar
los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W.
Gibbs encontró en el Álgebra vectorial
un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había
hecho con las cuaternas. Los trabajos de Gibbs contribuyeron a la formación de
la teoría de espacios vectoriales.
La
desaritmetización del espacio o estructuralización constituyó otra etapa del
desarrollo del Álgebra Lineal. En este momento los vectores perdieron las
coordenadas que la ataban al dominio de los números para llegar a los elementos
que definen su comportamiento por un sistema de propiedades o axiomas.
(Sierpinska, 1996), lo que contribuyó a hacer más compleja el Álgebra en el
sentido de hacerse más abstracta la relación símbolo – objeto.
Las
teorías axiomáticas de los espacios vectoriales fueron creadas con el objetivo
principal de encontrar un método general para resolver problemas de la propia Matemática
y no como otros elementos matemáticos para resolver nuevos problemas de otras
ciencias.
A
mediados del siglo XIX, también, apareció en los trabajos de Cayley y de
Silvester el cálculo de matrices y a finales del mismo, quedaron establecidos
los principales conceptos de esta teoría con los trabajos de Jordán,
Weiertrass, Kronecker y Hermite. A finales del siglo XIX además apareció el
cálculo de tensores.(ENCARTA 98)
La
teoría de las formas cuadráticas, surge cuando en los métodos se logran hacer
sustituciones lineales de las variables,
lo que tuvo gran repercusión en la Geometría Analítica ,
en la Teoría de los números y especialmente en la Mecánica Teórica. También
este problema resultó ser el centro de desarrollo de las ideas geométricas de
Lobachesvki y de Riemann y condujo a Grassmau a la creación de la teoría de los
espacios lineales multidimensionales (Maltsev, 1976).
En el
siglo XX los métodos del Álgebra Lineal encontraron una amplia aplicación en
diferentes teorías Matemáticas como la programación lineal y las ecuaciones
diferenciales y en diferentes ramas del saber como la economía y la ingeniería.
La
computación ha generado nuevas áreas de investigación como en la teoría de
algoritmos, en la que se ha encontrado gran aplicación para el Álgebra Lineal.
También ha impulsado el desarrollo de los métodos numéricos. Gigantescos
cálculos algebraicos quedan a su cargo. Sería imposible, sin su ayuda, comprobar
y verificar algunos resultados del Álgebra Lineal.
En
las civilizaciones antiguas sólo ocasionalmente se escribían las expresiones
algebraicas utilizando abreviaturas. Es la complejidad del símbolo, como
expresara Miguel de Guzmán (1993), la que da lugar al nacimiento del Álgebra en
el siglo IX. Este fenómeno representa una barrera epistemológica para el
estudiante, ya que la esencia propia del Álgebra radica en la relación símbolo
– objeto, que encierra un alto grado de abstracción.
La relación símbolo objeto, además de ser la génesis
del Álgebra constituye su Principal
problema epistemológico
En el
caso de Álgebra Lineal , los principales objetos que estudia son las matrices,
los sistemas de ecuaciones lineales, los vectores y las formas algebraicas, los
que han evolucionado y se han enriquecido a través de su historia, en la cual
la relación símbolo – objeto presente en los mismos implica un cierto grado de abstracción a
considerar.
Por
ejemplo, el símbolo (1, 0) representa diferentes vectores en diferentes bases y
frecuentemente ocurre que un mismo símbolo puede representar diferentes
vectores en diferentes bases. Es constante el intercambio de símbolos y
términos que coexisten pero que no son
equivalentes lo cual constituye una fuente de dificultad para su comprensión.
La
relación símbolo objeto puede caracterizarse, no sólo como lo que dio origen al
Álgebra, sino su propia esencia epistemológica, la que es imposible obviar para
la asimilación de los conocimientos de sus teorías. El proceso de aprendizaje
del Álgebra se da pasando por dicha relación en cada uno de los objetos de la
misma, constituyendo un fenómeno de alto grado de abstracción, que le hace más
contradictorio y más heurístico.
A
finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta del siglo
pasado, se produce un cambio curricular importante en la enseñanza de las
Matemáticas, conocida como la nueva Matemática o Matemática moderna.
Las
bases filosóficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de
Royamount, celebrado en 1959, con las intervenciones de los famosos matemáticos
franceses Jean Diudonné y G. Choquet. La
idea en principio parecía bastante lógica y coherente. Por un lado se pretendía
transmitir a los alumnos el carácter lógico - deductivo de la Matemática y al
mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las
estructuras algebraicas y los conceptos de relación y función de la Matemática
superior.
La
trascendencia que tuvo el movimiento de los 60 y 70 hacia la Matemática Moderna
trajo consigo una honda transformación de la enseñanza, tanto en los
contenidos, como en los métodos. Entre las principales características del
movimiento y los efectos por el producido se pueden contar los siguientes:
·
Se subrayaron las
estructuras abstractas en diversas áreas, específicamente en el Álgebra.
- Se pretendió profundizar
en el rigor lógico, en la comprensión, contraponiendo ésta a los aspectos
operativos y de manipulación.
Esto
último condujo al énfasis en la fundamentalización a través de las nociones
iniciales de la teoría de conjuntos y del Álgebra, donde el rigor es fácilmente
alcanzable.
El
objetivo pedagógico en esa época era el de poner a disposición de los
estudiantes un número reducido de herramientas Matemáticas potentes respetando
en todo momento el rigor matemático. Se planteaba, que si los estudiantes
tenían tales herramientas generales entonces podrían aplicarlas en muchas
situaciones diferentes y además era más fácil de comprender. (Douady, 1995).
El
enfoque bourbakiano fue una corriente en la enseñanza de la Matemática derivada
de las llamadas Matemática modernas. Dicho movimiento recomendaba dar más
énfasis a las estructuras y al lenguaje formal. En esta propuesta se reconocía
la importancia de alcanzar la presentación formal de las ideas Matemáticas
(Santos Trigo, 1997). El enfoque bourbakiano constituyó un modelo estructural
de la enseñanza del Álgebra Lineal.
Se
puede decir que las desventajas surgidas con la introducción del modelo
estructural superaron con mucho las cuestionables ventajas que se habían
pensado conseguir con el rigor en la fundamentalización y la comprensión de las
estructuras algebraicas. El exceso de información dirigida previamente o
preparada por el profesor, no le da la posibilidad al estudiante de razonar con
la profundidad necesaria (Caobilla, 1997). Otro problema, significado por la
autora de esta investigación, era que no se tenía en cuenta el desarrollo
cognitivo de los estudiantes, sobre todo si se tiene en cuenta la presencia de operaciones de carácter
heurístico.
A
finales de los sesenta y principios de los setenta quedó claro que la nueva Matemática
había sido un fracaso: los alumnos no
aprendían los conceptos y seguían
sin dominar las rutinas básicas del cálculo, por lo que se producen nuevos
movimientos renovadores. Entre estos movimientos nos referiremos a los
conocidos como retorno a lo básico y al de resolución de problemas.
El
retorno a lo básico (Back to Basic), supuso para la enseñanza de las
Matemáticas retomar la práctica de los algoritmos y procedimientos básicos de
cálculo (Santos Trigo, 1997) donde se priorizaban los ejercicios operacionales
sin poner énfasis en la esencia del contenido, lo que trajo por consecuencia que
los estudiantes tuvieran una visión formal de la Matemática. Este
movimiento daba mucha importancia al manejo de las operaciones y procedimientos
algorítmicos y constituyó para el
Álgebra un modelo operatorio de enseñanza. Bajo este modelo tampoco se hace énfasis en
el desarrollo cognitivo de los estudiantes.
Posteriormente,
se hizo evidente que tal retorno a lo básico no era la solución a la enseñanza
de las Matemáticas. Los alumnos, en el mejor de los casos, aprendían de memoria
los procedimientos sin comprenderlos, dando paso a la principal tendencia en la
enseñanza de la Matemática en los últimos tiempos; la resolución de problemas.
En
matemática, en general, se tienen los modelos de enseñanza fundamentados en la
resolución de problemas donde los problemas son usados como medio, objeto y
método. Como medio ya que se usan como el instrumento adecuado para la
introducción de temas, el desarrollo de métodos y en general la formación de
algunas habilidades; como objeto, pues el propósito principal en las actividades del proceso de enseñanza y
aprendizaje es la resolución de problemas; y como método ya que mediante dichos
problemas se posibilita la introducción de métodos, procedimientos, etc. siendo
el método por problemas, el principal método de enseñanza utilizado.
En
Álgebra Lineal, en particular, el modelo de enseñanza propuesto por Hernández
(1989), es un modelo que se fundamenta en la resolución de problemas. Este
modelo utiliza los problemas como medio a partir del cual se modela mediante la
combinación lineal de vectores y se resuelven utilizando la eliminación
gausseana . La introducción de este
modelo en las carreras de ingeniería constituyó una revolución en la enseñanza
del Álgebra Lineal, no obstante,
mantiene características del modelo operatorio.6-Teorías del Álgebra.
El
Algebra como una rama de la matemática que es una ciencia formal se construye
sobre la base de los llamados sistemas teóricos deductivos, caracterizados por
la formulación inicial de sus fundamentos, insertándose en el sistema sólo aquellas informaciones que puedan ser
obtenidas a partir de esta base de manera puramente lógica.
Estos
sistemas se construyen, por regla general, en lenguajes formales especiales,
donde los términos aislados se sustituyen por símbolos y las proposiciones por
combinaciones de símbolos.
En
virtud de lo anterior, toda teoría aparece como un lenguaje formal especial.
Estas teorías de lenguajes deductivos dan gran generalidad a la investigación
(las leyes que se formulan en ellas se relacionan con todos los objetos que
puedan ser representados, de tal manera que satisfagan a dichas teorías), pero
plantean agudamente el problema de su interpretación. En realidad, el lenguaje
formal por sí mismo no es saber, si se hace abstracción del contenido que pueda
reflejar.
Se
debe destacar que el carácter deductivo del Algebra incluye
momentos inductivos, o sea que el carácter deductivo de la misma se toma
en el segundo sentido del término deducción, lo que explica que el estudio de
la matemática contribuye o puede contribuir a la formación del método
inductivo-deductivo en los estudiantes.
Para
utilizar los conceptos del Algebra en la interpretación y resolución de las
tareas, así como para verificar el resultado obtenido es necesario emplear
determinado procedimiento que garantice la solución de la tarea. Además , sin
los conceptos no es posible garantizar la solución de las tareas.
Los
procedimientos que garantizan la solución de una tarea, en Algebra exigen de la utilización del contenido en
alguna medida. De manera similar para utilizar el contenido en la solución de
las tareas requiere de alguna estrategia que garantice la solución de las
mismas.
Para
utilizar el contenido del Algebra Lineal en la solución de las tareas es necesaria la aplicación de los conceptos
correspondientes. De igual modo, sin la utilización del contenido no es posible la formación de los conceptos.
Luego,
entre las características fundamentales de la habilidades en Algebra existe una interrelación dialéctica.
Las
reflexiones anteriores hacen pensar que en la enseñanza del Algebra deben tener
prioridad los métodos dialécticos como son los métodos investigativos.
Los principios didácticos en la enseñanza del
Algebra son derivados de los fundamentales principios didácticos de la
Matemática que se resumirán a continuación a partir de un documento elaborado
por el Dr. Blanco.
- Carácter activo del estudiante en el proceso enseñanza
aprendizaje.
- Carácter social del aprendizaje.
- El historicismo.
- El carácter mediatizado de la psiquis humana.
1.-Iniciaremos nuestro análisis, por el carácter
activo del estudiante en el proceso enseñanza.
Aprendizaje, el cual fue planteado en primer lugar por
Amos Comenio y fue esgrimido por
Pestalozi y la escuela de los ilustrados. Llegando a la posmodernidad con una fuerza tal, que determina la búsqueda
constante de procedimientos que transfieran la actividad del maestro al alumno
en el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje. Al respecto expresó
Vygotski: El análisis de la conciencia debe iniciarse con el análisis de la
actividad práctica; la conciencia está determinada por la relación sujeto
objeto y en esta interrelación el papel intermediario entre conciencia y
realidad lo cumple la actividad práctica. La Profesora N. F.
Talizina destaca de manera notable la necesidad de la actividad del estudiante
en el proceso enseñanza aprendizaje con su planteamiento: “Si el estudiante no
hace nada cualquier cosa que haga el profesor es inútil.” Lo que es equivalente al planteamiento
constructivista: “ El que aprende tiene la responsabilidad final de su
aprendizaje.”
La actividad
del estudiante, no es un elemento más en la Escuela Histórico
Cultural , sino que es uno de sus pilares fundamentales, para
su desarrollo teórico y práctico.
2.-Carácter social del aprendizaje.
Continuaremos nuestro análisis partiendo de uno de los
tres ejes de la teoría de Vygotski, que es el siguiente: “Los fenómenos
psíquicos, la psiquis humana, siendo sociales por su origen, no son algo dados
de una vez para siempre, existe un desarrollo histórico de dichos fenómenos,
una relación de dependencia esencial de los mismos con respecto a la vida a la
actividad social. La historia de la psiquis humana es la historia de su
constitución. (Shuare M. 1990).
De la misma forma
en (Pontecorvo C. 1993) se hace referencia a una conferencia
internacional celebrada en Roma, cuyo objetivo fue identificar y describir los
mecanismos socio cognoscitivos a través de los cuales se desarrollo el
pensamiento y el aprendizaje mediante diferentes tipos de interacción social.
También Santos Rego M. A. Expresa que
los escenarios de socialización escolar potencian el crecimiento cognoscitivo y
afectivo del alumno. (Santos Rego M.A. 1995).
Podríamos
continuar y hacer esta relación muy larga, pero lo planteado hasta aquí permite
apreciar, que muchos estudiosos de la materia, arriban a la importancia de la
interacción social, partiendo de diferentes puntos de vista. No obstante el
peso de las diferentes opiniones relacionadas hasta aquí, recalcaremos la
universalidad del aspecto tratado, con la cita de un especialista que se
caracterizó por sus análisis desde una perspectiva genética, y concluyó también
diciendo que: “Cuando hablo de actividad, hablo de esta en dos sentidos. Uno
actuando sobre cosas materiales, otra en colaboración social, en esfuerzo de
grupo. Es una actitud mental crítica; donde los niños deben comunicarse entre
sí, factor esencial en todo desarrollo intelectual.” (Labinowics. E 1987).
3.-El Historicismo.
Otro de los ejes que plantea la teoría de Vygotski es el
historicismo. Por cuanto el desarrollo orgánico se realiza en un medio cultural
se convierte en un proceso biológico históricamente condicionado. Donde el
desarrollo consiste en la reorganización gradual de la conciencia, siendo la
interiorización de las actividades socialmente arraigadas e históricamente
desarrolladas el rasgo distintivo de la formación de la conciencia humana.
Este planteamiento expresa que el aprendizaje de un
sujeto no se inicia en un punto determinado, desconociendo todo el desarrollo
precedente de este sujeto, sino que está
condicionado por su historia en general, pero en particular por su historia en lo
que a aprendizaje respecta.
Así encontramos
innumerables autores que muestran sus estudios realizados sobre las
preconcepciones de los estudiantes, las
influencias de estas en el aprendizaje y
como atacar el problema. En estos trabajos, podemos encontrar o no, el
historicismo como premisa de una forma explícita, pero
explícita o no esta premisa está presente siempre que se trate de las
preconcepciones.
Esta premisa
aparece, al menos implícitamente, en los estudios realizados sobre el proceso
enseñanza aprendizaje. Así tenemos,
D’Amore B. quien nos dice: “Las raíces de la aversión de los estudiantes
a la Matemática está en la Matemática mal enseñada que tuvieron en los primeros
grados. (D’Amore B. 2000).
Guy Brousseau ha desarrollado al respecto la teoría de
las situaciones didácticas. La situación didáctica implica una interacción del
estudiante con situaciones problemáticas, una interacción dialéctica, dónde el
sujeto anticipa y finaliza sus acciones y compromete sus conocimientos
anteriores, los somete a revisión, los modifica, los complementa o los rechaza
para formar nuevas concepciones. Bachelard: “Uno conoce contra un conocimiento
anterior.”
Fuera de la escuela Histórico
Cultural , encontramos otros planteamientos como el siguiente:
“El funcionamiento mental se concibe como intrínsecamente vinculado a los
entornos culturales, históricos e institucionales. Este nuevo enfoque sobre el
funcionamiento cognoscitivo viene a
completar ... “ (Rojano T. Y Moreno L. 1999) Como vemos, los autores hablan de
nuevo enfoque; por nuestra parte consideramos que efectivamente a partir de sus
estudios ellos han arribado a conclusiones que les resultan nuevas, independientemente de que las mismas
coincidan con las que estamos analizando, lo que por lo tanto corrobora nuestro
análisis. Por otra parte, Santos Rego M.
trata sobre un enfoque global que incluye un número de técnicas basadas en el
nuevo concepto de función cerebral, arribando entre otras a conclusiones tales
como:
El cerebro organiza el nuevo conocimiento sobre la base
de la experiencia y significados
previos.
Son los mismos patrones derivados de la experiencia los
que ayudan a determinar el significado del contenido. (Santos Rego. M. 1995).
Aquí de nuevo está presente el historicismo, aunque no se
exprese literalmente así, pero como se puede apreciar las conclusiones
planteadas ponen a la experiencia del sujeto en un lugar importante en la
asimilación de los nuevos contenidos; cómo separar la experiencia del sujeto de
su propia historia.
El aspecto analizado se refleja en el planteamiento constructivista:
“El aprendizaje incluye la construcción de significado, la construcción de
significado es influenciada en gran medida por el conocimiento existente.” Así,
como en lo expresado por D. Aussebel: El
término significativo se refiere al aprendizaje donde el nuevo contenido se
incorpora relacionándolo con los conocimientos previamente existentes en la mente del estudiante.
Como podemos
apreciar, diferentes escuelas mediante sus propios métodos concluyen que el
aprendizaje está condicionado por los conocimientos del que aprende, por su
historia en lo que a aprendizaje respecta.
4.- El carácter mediatizado de la
psiquis humana.
El tercer eje de la teoría de Vygotski plantea que los objetos más importantes son
los signos.
Aquí Vygotski plantea que de la misma forma que el uso
del primer instrumento marcó el inicio del género humano, el uso del símbolo
marcó la salida de la actividad orgánica, el inicio de la actividad psíquica, y
destaca que mientras que el instrumento actúa sobre el objeto, el símbolo actúa
hacia adentro, es la forma de materialización del pensamiento.
La interiorización
de los signos y la utilización del lenguaje pueden considerarse los mecanismos
fundamentales que transforman el desarrollo cognoscitivo humano, completamente
divergente de las otras especies. El instrumento fundamental de la actividad
psíquica es el símbolo, con un significado definido que ha evolucionado con la
historia de la cultura.
Al respecto Piaget
nos dice: “las relaciones son formadas por la mente humana que le asigna luego
símbolos.” (Labinovics. E. 1987). Aquí
tenemos que, independientemente de que Piaget resolviera incorrectamente el
problema fundamental de la gnoseología, reconoce la necesidad del símbolo para poder
estudiar las relaciones de los objetos.
Además Piaget
distingue dos tipos de experiencia: La física y la lógica Matemática ;
en la primera el sujeto manipula (toca, siente ve, etc.) el objeto real para
abstraer sus propiedades, mientras que en la segunda la abstracción se efectúa
a partir de las acciones ejecutadas sobre el objeto y no a partir del objeto
mismo como tal. (González F. 1994). Esto es, el niño primero manipula conjuntos
de objetos antes de poder abstraer el cardinal de estos conjuntos, que
representados por símbolos (números) representan las acciones ejecutadas sobre
los objetos originales.
Como decíamos antes, podemos hacer esta lista muy larga,
pero pensamos que lo planteado es suficiente para apreciar el acuerdo que
existe en la comunidad científica sobre el papel del símbolo, como
representación material del pensamiento.
No discutimos aquí
como diferentes autores arriban a conclusiones análogas. El hecho es que si se
arriba a ese resultado por diferentes vías, es porque el mismo se manifiesta
con carácter de ley en el fenómeno enseñanza aprendizaje.
El
Álgebra Lineal en la actualidad está formada por cuatro teorías: Matrices,
Sistema de Ecuaciones Lineales, Formas Cuadráticas y Espacios Vectoriales. En
la tesis que defiende la autora propone como objeto de estudio para fines
didácticos a los formas lineales o lo que es lo mismo a los modelos de
transformación. Esta es una de las categorías que forman parte de la
metodología propuesta.
Los
principios del Álgebra Lineal constituyen un recurso a utilizar. En este caso, con su ayuda se llega a inferir
por ejemplo que la matriz nula es el cero de las matrices; la matriz idéntica
juega el papel del número uno para el producto; y que la matriz inversa de una
matriz dada juega el papel del elemento recíproco. El estudio de las
ecuaciones c = a + x ó c
= a. x constituye la base fundamental
del Álgebra Lineal. La solución de estas ecuaciones, el alumno la realiza en
forma mental y en muchos casos de manera formal por lo que se hace necesario
revelar las operaciones que entran en su solución y en su comprobación.
Como
puede apreciarse en el estudio de estas ecuaciones aparecen las propiedades de
las operaciones suma o producto según corresponda y el estudio de diferentes
casos para la ecuación c = a x que es
considerada por algunos autores (Maltsev, 1976), como el principio del Álgebra Lineal. Las aplicaciones de estas expresiones son numerosas, y por eso resulta
conveniente destacar las relaciones con magnitudes geométricas y con algunas
leyes físicas, químicas, económicas que el estudiante debe conocer; y además
algunas de sus características relacionadas con la utilización de unidades de
medidas.
Se
debe destacar que a pesar del carácter elemental de las expresiones analizadas,
ellas constituyen una poderosa herramienta para interpretar los principales
componentes de la teoría del Álgebra Lineal y se proponen como recurso
didáctico, siempre que sea necesario acudir al análisis de estas expresiones. A
continuación se relacionan algunos conceptos y propiedades donde pueden ser
utilizados estos principios como recurso didáctico.
·
Operaciones con
matrices: suma y producto.
· Matriz nula,
matriz idéntica, matriz inversa.
·
Sus propiedades
fundamentales.
·
Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
·
Clasificación de
los SEL.
·
Dependencia
lineal entre vectores.
·
Matriz asociada a
una aplicación lineal.
·
Núcleo de una
aplicación lineal.
